寫出通過點 (−6, 5) 且斜率為 2/3 的直線方程式。

Step-by-step solution

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   從點斜式出發。 給定一點 $(x_1,y_1)$ 與斜率 $m$，直線是

   $y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

   要寫出這個形式完全不需要計算 —— 工夫全在之後的化簡。

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   代入已知值，留意雙重負號。 取 $x_1=-6$、$y_1=5$、$m=\tfrac23$：

   $y-5=\frac{2}{3}\left(x-(-6)\right)=\frac{2}{3}(x+6)$

   在這裡寫成 $(x-6)$ 而不是 $(x+6)$ 是最常見的錯誤，會讓整條直線上下錯開八個單位。

3. 3

   把斜率乘進括號。 因為 $6$ 是 $3$ 的倍數，分數剛好消得乾淨：

   $y-5=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\cdot 6=\frac{2}{3}x+4$

4. 4

   解出 $y$ 化成斜截式。

   $y=\frac{2}{3}x+4+5=\frac{2}{3}x+9$

   所以斜率是 $\tfrac23$，$y$ 截距是 $(0,9)$。

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   驗證該點確實在直線上。 代入 $x=-6$：

   $y=\frac{2}{3}(-6)+9=-4+9=5\;\checkmark$

   再檢查一次斜率：從 $x=-6$ 移到 $x=-3$（水平移動 $3$），$y$ 由 $5$ 升到 $7$（垂直上升 $2$），得到 $\tfrac{2}{3}\;\checkmark$。寫成一般式，同一條直線是 $2x-3y=-27$。