用 x + 1 去除 x³，並把結果寫成一個多項式加上一個餘項。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分子的每一個次方都補齊。 缺掉的項必須用零係數占住位置，否則直式的各欄就會錯位：

   $x^3+0x^2+0x+0$

2. 2

   第一步除。 $\tfrac{x^3}{x}=x^2$；乘回去再相減：

   $x^2(x+1)=x^3+x^2\quad\Longrightarrow\quad\left(x^3+0x^2\right)-\left(x^3+x^2\right)=-x^2$

3. 3

   第二步。 $\tfrac{-x^2}{x}=-x$；乘回去再相減：

   $-x(x+1)=-x^2-x\quad\Longrightarrow\quad\left(-x^2+0x\right)-\left(-x^2-x\right)=x$

4. 4

   第三步。 $\tfrac{x}{x}=1$；乘回去再相減：

   $1(x+1)=x+1\quad\Longrightarrow\quad(x+0)-(x+1)=-1$

   $-1$ 的次數已經低於 $x+1$ 的次數，除法到此停下，商是 $x^2-x+1$，餘數是 $-1$。

5. 5

   把答案拼起來，並用餘數定理確認。

   $\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1},\qquad x\neq -1$

   餘數定理預測的餘數就是 $f(-1)=(-1)^3=-1$ $\checkmark$。等價地，由 $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$ 可得 $x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$ $\checkmark$。