解 4^x = 80，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先看 $80$ 是不是 $4$ 的次方。 這些次方依序是 $4^1=4$、$4^2=16$、$4^3=64$、$4^4=256$。因為 $64<80<256$，指數不是整數，而且嚴格落在 $3$ 與 $4$ 之間 —— 先記下來，可以拿來框住最後的答案。

2. 2

   兩邊取對數。 用哪個底都可以；對數會把指數變成一個係數：

   $\ln\left(4^x\right)=\ln 80\quad\Longrightarrow\quad x\ln 4=\ln 80$

3. 3

   解出 $x$，寫出它的精確形式。

   $x=\frac{\ln 80}{\ln 4}=\log_4 80$

   這就是換底公式反過來讀：$\log_b a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$。

4. 4

   算出數值。 取 $\ln 80\approx 4.3820266$、$\ln 4\approx 1.3862944$：

   $x\approx\frac{4.3820266}{1.3862944}\approx 3.16096$

5. 5

   對照先前框出的範圍，並代入檢驗。 值 $3.161$ 確實落在 $3$ 與 $4$ 之間 $\checkmark$，而且 $4^{3.16096}\approx 80.000$ $\checkmark$。另一種精確寫法：因為 $80=16\times 5$ 且 $16=4^2$，可得 $x=2+\log_4 5$，而 $\log_4 5\approx 1.16096$ $\checkmark$。