在直角座標平面上，點 P 的座標為 (m, n)，其中 m 與 n 滿足 (m² + n² + 1)(m² + n² + 3) = 8。求線段 OP 的長度。

Step-by-step solution

1. 1

   先把要求的量和已知式子接上。 點 $P(m,n)$ 到原點的距離是

   $OP=\sqrt{m^2+n^2}$

   所以整道題歸結成求 $m^2+n^2$ 這一個數，$m$ 與 $n$ 各自是多少從頭到尾都用不著。

2. 2

   用代換把兩個未知數藏起來。 令

   $t=m^2+n^2$

   因為 $m$、$n$ 都是實數，兩個平方都非負，這帶來一個必須一路帶到最後的限制：

   $t\ge 0$

3. 3

   展開並解關於 $t$ 的一元二次方程式。

   $(t+1)(t+3)=8$

   $t^2+4t+3=8$

   $t^2+4t-5=0$

   $(t+5)(t-1)=0\ \Longrightarrow\ t=-5\ \text{或}\ t=1$

4. 4

   把違反限制的那個根捨掉。 兩個實數的平方和不可能等於 $-5$，所以 $t=-5$ 要排除，於是

   $m^2+n^2=1$

   這正是 $\sqrt5$（或 $1$）這個誘人答案之所以是陷阱的原因：它保留了一個被代換自身取值範圍所禁止的根。

5. 5

   算出 $OP$ 並驗證。

   $OP=\sqrt{1}=1$

   代回條件檢驗：若 $t=1$，則 $(1+1)(1+3)=2\times 4=8$ $\checkmark$。從幾何上看，$P$ 可以落在單位圓上的任何位置 —— 例如 $(1,0)$ 或 $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$ —— 而這些點到原點的距離都是 $1$。