解不等式 x^2 - ax + 1 < 0，其中 a 為任意實數參數。

Step-by-step solution

1. 1

   先讀幾何意義，再動代數。 令 $f(x)=x^2-ax+1$。首項係數是 $1>0$，所以圖形是開口向上的拋物線。開口向上的拋物線要落到 $x$ 軸下方，唯一的可能是它真的和 x 軸交於兩點。所以整道題化約成：$a$ 取什麼值時 $f$ 有兩個相異實根，而那兩根在哪裡？

2. 2

   算判別式。 取 $A=1$、$B=-a$、$C=1$：

   $\Delta=B^2-4AC=(-a)^2-4(1)(1)=a^2-4$

   要有兩個相異實根就需要 $\Delta>0$，也就是 $a^2>4$、亦即 $|a|>2$——所以 $a<-2$ 或 $a>2$。

3. 3

   先處理無解的情形。 若 $-2\le a\le2$ 則 $\Delta\le0$。當 $\Delta<0$ 時拋物線完全不碰 x 軸，$f(x)>0$ 處處成立；當 $\Delta=0$（即 $a=\pm2$）時它只在一點與 x 軸相切、該處 $f=0$，仍然不滿足嚴格不等式。所以

   $-2\le a\le2\ \Longrightarrow\ \text{無解}\ (\varnothing)$

   舉例來說，$a=2$ 時 $f(x)=(x-1)^2\ge0$——永遠不會是負的。

4. 4

   在 |a| > 2 時求根。 由公式解，

   $x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$

   所以 $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$、$x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$，而且 $x_1<x_2$，因為 $\sqrt{a^2-4}>0$。

5. 5

   取兩根之間的區間。 開口向上的拋物線恰在兩根之間為負，所以當 $|a|>2$ 時：

   $\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}<x<\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$

   同一個式子同時涵蓋 $a>2$ 與 $a<-2$；負的那一支不需要另外處理。

6. 6

   指出一個值得一提的結構性事實。 兩根之積為 $\tfrac{C}{A}=1$，所以恆有 $x_1x_2=1$。因此兩根互為倒數且同號：$a>2$ 時都是正的，$a<-2$ 時都是負的。於是解區間永遠不含 $0$，這與 $f(0)=1>0$ 一致。

7. 7

   跨情形做數值驗證。 對每個 $a\in\{-5,-2.5,-2,-1,0,1,2,2.5,7\}$，在 $[-20,20]$ 上取 $4001$ 個點計算 $f$，把正負號與預測的解集比對，結果零筆不符；而且只要 $|a|>2$，兩個根代入後在 $10^{-9}$ 的誤差內都得到 $f=0$ ✓。