解 x(75 - 2x - 1) = 690。

Step-by-step solution

1. 1

   先化簡括號裡面。 展開之前先把常數合併——這是「乾淨的二次式」與「一個容易的失誤」之間的差別：

   $75-2x-1=74-2x\qquad\Longrightarrow\qquad x(74-2x)=690$

   這個形狀是周長與面積問題的典型：一邊是 $x$，另一邊是 $74-2x$，目標乘積為 $690$。

2. 2

   展開並把所有項移到同一邊。

   $74x-2x^2=690\qquad\Longrightarrow\qquad -2x^2+74x-690=0$

3. 3

   把方程式化成標準倍率。 先乘以 $-1$，再除以 $2$：

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   這兩步對方程式都是合法的（不等式就不然，乘以 $-1$ 會讓不等號變向）。

4. 4

   算判別式。 取 $a=1$、$b=-37$、$c=345$：

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   判別式是負的，所以沒有實數解——拋物線 $x^2-37x+345$ 永遠碰不到零。

5. 5

   具體說明這代表什麼。 $x(74-2x)$ 的最大值出現在中點 $x=\tfrac{74}{4}=18.5$，此時乘積是 $18.5\times37=684.5$。因為 $684.5<690$，目標值根本搆不到：沒有實數 $x$ 能讓乘積等於 $690$。差的那 $5.5$ 正是負判別式所編碼的訊息。

6. 6

   寫出複數根。 在 $\mathbb{C}$ 上：

   $x=\frac{37\pm\sqrt{-11}}{2}=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

7. 7

   驗證。 掃描從 $-100$ 到 $100$ 的 $20{,}001$ 個實數值 $x$，找不到任何一個使 $x(74-2x)=690$ ✓。把那對複數根代進 $x(74-2x)$，結果在 $10^{-9}$ 的誤差內回到 $690$ ✓；而且兩根之和是 $37=-b/a$、乘積是 $345=c/a$ ✓。