函數 G 的斜率為 1/3 且通過 (0, −1)；函數 H 通過 (8, 3) 與 (10, 4)。Kelly 說 G 的初始值大於 H 的初始值，她說得對嗎？

Step-by-step solution

1. 1

   先定義「初始值」。 對一次函數而言，初始值就是輸入為 $0$ 時的輸出——也就是 $y$ 截距。所以整題真正問的是：每個函數在 $x=0$ 時的 $y$ 是多少？

2. 2

   直接讀出 G 的初始值。 題目已說明 $G$ 通過 $(0,-1)$，而該點的 $x=0$，因此

   $\text{初始值 }G=-1.$

   它的斜率 $\tfrac13$ 在這個比較裡根本用不到——那只是拿來混淆的條件。

3. 3

   由 H 的兩個點求斜率。

   $m_H=\frac{4-3}{10-8}=\frac{1}{2}.$

4. 4

   把 H 往回推到 x = 0。 從 $(8,3)$ 出發往左移 $8$ 個單位，$y$ 減少 $8\times\tfrac12=4$：

   $\text{初始值 }H=3-4=-1.$

   等價的做法是設 $y=\tfrac12 x+b$，代入得 $3=\tfrac12(8)+b$，所以 $b=-1$。

5. 5

   比較並作答。 兩個初始值都等於 $-1$，所以它們是相等，並不是誰比較大。Kelly 判斷錯誤。

6. 6

   用 H 的第二個點驗證。 方程式 $y=\tfrac12 x-1$ 在 $x=10$ 時給出 $y=\tfrac12(10)-1=4$ ✓，與題目給的點吻合。所以截距 $-1$ 沒錯：兩個函數在完全相同的位置穿過 $y$ 軸，只是上升的速率不同。