展開並合併 ((a1(x − y) + b1)(x − y) + (a2 y + b2) y) / x 的同類項。

Step-by-step solution

1. 1

   **認出這個巢狀（Horner）形式。**兩半各自具有 $(\text{係數}\cdot t+\text{常數})\cdot t$ 的形式，這是把二次式寫成乘法次數最少的樣子：前一半的 $t=x-y$，後一半的 $t=y$。一層一層拆開，比一口氣全部展開安全。

2. 2

   把每一半展開成它自己變數的二次式。

   $\left(a_1(x-y)+b_1\right)(x-y)=a_1(x-y)^2+b_1(x-y)$

   $\left(a_2y+b_2\right)y=a_2y^2+b_2y$

   所以分子是 $a_1(x-y)^2+b_1(x-y)+a_2y^2+b_2y$。

3. 3

   **展開平方與一次括號。**利用 $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$：

   $a_1(x-y)^2=a_1x^2-2a_1xy+a_1y^2,\qquad b_1(x-y)=b_1x-b_1y$

   括號裡的每一項都要乘上係數，包括最容易漏掉的中間項 $-2a_1xy$。

4. 4

   **跨過兩半合併同類項。**只有 $y^2$ 項與 $y$ 項可以合併：

   $a_1y^2+a_2y^2=(a_1+a_2)y^2,\qquad -b_1y+b_2y=(b_2-b_1)y$

   分子成為

   $a_1x^2-2a_1xy+(a_1+a_2)y^2+b_1x+(b_2-b_1)y$

5. 5

   **若要完全拆開的形式，就逐項相除。**在 $x\neq 0$ 時，

   $a_1x-2a_1y+\frac{(a_1+a_2)y^2}{x}+b_1+\frac{(b_2-b_1)y}{x}$

   只有含 $x$ 的項可以化簡；$y^2$ 項與 $y$ 項的分母仍然留著 $x$，所以這個形式並不是多項式。

6. 6

   **用數字檢查。**取 $a_1=1,b_1=2,a_2=3,b_2=4,x=5,y=1$。原分子：$(1\cdot 4+2)\cdot 4+(3+4)\cdot 1=24+7=31$。合併後的形式：$25-10+4\cdot 1+10+2\cdot 1=31$ ✓。除以 $x=5$ 之後兩邊都得到 $6.2$。