解不等式 (1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) ≥ 720。

Step-by-step solution

1. 1

   看出重複出現的括號，把它提出來。 左邊兩項都含有 $(800-20x)$，所以直接把它提出來，不必展開兩次：

   $\left(800-20x\right)\left[\left(1.5+0.1x\right)-0.9\right]=\left(800-20x\right)\left(0.6+0.1x\right).$

   回到原本的情境，$(1.5+0.1x)-0.9$ 是每單位的利潤，而 $(800-20x)$ 是賣出的單位數。

2. 2

   把乘積展開。

   $\left(0.6+0.1x\right)\left(800-20x\right)=480-12x+80x-2x^{2}=-2x^{2}+68x+480.$

3. 3

   把所有項移到同一邊。

   $-2x^{2}+68x+480\ge 720\ \Longrightarrow\ -2x^{2}+68x-240\ge 0.$

4. 4

   除以 −2，並把不等號反向。 不等式除以負數時方向要顛倒——這正是這裡最常被遺忘的一步：

   $x^{2}-34x+120\le 0.$

5. 5

   求根並讀出區間。

   $x=\frac{34\pm\sqrt{1156-480}}{2}=\frac{34\pm\sqrt{676}}{2}=\frac{34\pm 26}{2}=4\ \text{或}\ 30.$

   開口向上的拋物線在兩根之間才 $\le 0$，所以

   $4\le x\le 30.$

6. 6

   抽驗兩個端點與一個內點。 當 $x=4$：$(1.9)(720)-0.9(720)=(1.0)(720)=720$，恰好落在門檻上 ✓。當 $x=17$（頂點）：$(3.2)(460)-0.9(460)=(2.3)(460)=1058\ge 720$ ✓。當 $x=31$：$(4.6)(180)-0.9(180)=(3.7)(180)=666<720$，正確地落在區間外。