二次函數 f 滿足 f(x) <= 0 的解恰為區間 -1 <= x <= 5，且其最小值為 -18。解不等式 f(x) <= 6。

Step-by-step solution

1. 1

   直接從解集合讀出兩根與開口方向。 $f(x)\le0$ 恰好在一個有界閉區間上成立，代表 $f$ 在兩個端點為零、在中間嚴格為負。所以 $-1$ 與 $5$ 就是兩根，而且拋物線開口向上（若開口向下，$f\le0$ 的解會是兩側的射線而不是中間一段）。因此

   $f(x)=a(x+1)(x-5),\qquad a>0.$

2. 2

   利用對稱性直接找頂點，不必配方。 開口向上的拋物線，最小值就落在兩根的正中間：

   $x_{\text{頂點}}=\frac{-1+5}{2}=2.$

   題目給的最小值只可能出現在這個位置。

3. 3

   把最小值化成關於 $a$ 的方程式。

   $f(2)=a(2+1)(2-5)=-9a$

   $-9a=-18\quad\Longrightarrow\quad a=2$

   正負號檢查也通過：$a=2>0$，與第一步推出的開口向上一致。所以

   $f(x)=2(x+1)(x-5)=2x^2-8x-10.$

4. 4

   解 $f(x)\le 6$。 把所有項移到同一邊，再除以正的首項係數（除以正數不會改變不等號方向）：

   $2x^2-8x-10\le6\;\Longrightarrow\;2x^2-8x-16\le0\;\Longrightarrow\;x^2-4x-8\le0.$

5. 5

   求邊界方程式的根，並判斷取哪一側。

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3$

   因為 $x^2-4x-8$ 開口向上，所以它在兩根之間才 $\le0$：

   $2-2\sqrt3\le x\le 2+2\sqrt3\qquad(\text{約為 }-1.464\le x\le5.464).$

6. 6

   用題目給的條件回頭檢查答案。 新區間的中心同樣是 $x=2$，也就是同一條對稱軸，而且它嚴格包含 $[-1,5]$——這是必然的，因為在開口向上的拋物線上，水平線 $6$ 比水平線 $0$ 高。代端點檢驗：$f\left(2+2\sqrt3\right)=2\left(3+2\sqrt3\right)\left(-3+2\sqrt3\right)=2\left(12-9\right)=6$，恰好就是邊界值。