解聯立方程式 a + b + c = 100、600a + c = 1200、600b + 599c = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   挑最容易消去的那個變數。 第二式裡只有 $a$ 與 $c$，用它把 $c$ 表示成 $a$ 的式子，一個分數都不會出現：

   $c=1200-600a$

   從項數最少的式子入手，後面的算術量能小很多。

2. 2

   代入第三式，把 $b$ 也用 $a$ 表示出來。

   $600b+599(1200-600a)=0\ \Longrightarrow\ 600b+718800-359400a=0$

   $600b=359400a-718800\ \Longrightarrow\ b=599a-1198$

   $359400$ 與 $718800$ 都能被 $600$ 整除，所以 $b$ 依然是一個精確的一次式。

3. 3

   把兩者一起代進第一式。

   $a+(599a-1198)+(1200-600a)=100$

4. 4

   看著 $a$ 全部消失。 合併含 $a$ 的項：$1+599-600=0$。合併常數項：$-1198+1200=2$。於是式子化為

   $2=100$

   這是假的。而且沒有任何 $a$ 能挽救它，因為 $a$ 已經不在式子裡了。

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   把這個矛盾解讀對。 變數消光之後剩下一個假命題，說明這組聯立方程式是矛盾的：完全無解。（如果剩下的是 $0=0$ 這樣的真命題，結論就正好相反——有無窮多組解。）從幾何上看，這三個平面沒有公共點。

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   代具體數值驗一下。 取 $a=2$：則 $c=1200-1200=0$、$b=1198-1198=0$，第二、第三式都成立，但 $a+b+c=2\neq 100$。取 $a=1$：$c=600$、$b=-599$，同樣有 $a+b+c=2$。不管 $a$ 取什麼，這個和都被釘死在 $2$ 上，與前面代數推出的結論完全一致。