化簡 6x(x − y)² + 3(y − x)³。

Step-by-step solution

1. 1

   先看清兩個括號的關係。 它們互為相反數：$y-x=-(x-y)$。這件事很要緊，因為次方的奇偶會讓負號有不同的下場：

   $(y-x)^2=(x-y)^2\quad\text{但}\quad (y-x)^3=-(x-y)^3$

   偶次方吃掉負號，奇次方留著它。

2. 2

   把一切都改用 $(x-y)$ 表示。 代入三次方的關係式，

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=6x(x-y)^2-3(x-y)^3$

   現在兩項都由同一個括號堆出來，這正是能夠因式分解的前提。

3. 3

   找出並提出公因式。 係數 $6$ 與 $3$ 有公因數 $3$，括號的較低次方是 $(x-y)^2$，所以最大公因式是 $3(x-y)^2$：

   $6x(x-y)^2-3(x-y)^3=3(x-y)^2\bigl[2x-(x-y)\bigr]$

4. 4

   把中括號裡剩下的東西化簡。

   $2x-(x-y)=2x-x+y=x+y$

   減號會把括號內兩個正負號都翻過來——寫成 $2x-x-y=x-y$ 就是這裡的標準錯誤。

5. 5

   寫出結果並驗算。

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=3(x-y)^2(x+y)$

   取 $x=3$、$y=1$ 檢查：原式為 $6(3)(2)^2+3(-2)^3=72-24=48$，因式分解後的形式給出 $3(2)^2(4)=48$ ✓。