若 (x + 4)(x^2 - 4x + 16) - x(x + 5)(x - 5) = 264，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   看出前一個乘積是立方和。 公式 $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$ 在 $a=x$、$b=4$ 時完全吻合，因為 $a^2-ab+b^2=x^2-4x+16$：

   $(x+4)\left(x^2-4x+16\right)=x^3+64$

   硬乘開也做得出來，但容易出正負號錯誤；認出公式才能事先看見後面的抵消。

2. 2

   看出後一個乘積是平方差。

   $(x+5)(x-5)=x^2-25\;\Longrightarrow\;x(x+5)(x-5)=x^3-25x$

3. 3

   兩個都代進去，看三次項如何抵消。

   $\left(x^3+64\right)-\left(x^3-25x\right)=25x+64$

   $x^3$ 完全消掉，所以看起來像三次方程式的題目其實是一次的——這就是整道題的設計用意。

4. 4

   解這個一次方程式。

   $25x+64=264\;\Longrightarrow\;25x=200\;\Longrightarrow\;x=8$

5. 5

   代回原式驗算。 當 $x=8$：前一個乘積是 $12\left(64-32+16\right)=12\cdot 48=576$，後一個是 $8\cdot 13\cdot 3=312$。於是

   $576-312=264\;\checkmark$

   這裡值得完整驗算一次，因為三次項抵消這種步驟最容易藏著算錯的地方。