解不等式 3/(x − 1) − 1 ≥ 2。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定義域限制記下來。 分母 $x-1$ 不能為零，所以 $x \neq 1$。不管後面代數算出什麼，這個值都不可能屬於答案。

2. 2

   忍住不要交叉相乘。 兩邊同乘 $x-1$ 需要先知道它的正負號，而 $x<1$ 時 $x-1$ 為負、$x>1$ 時為正。穩妥的路子是把所有項收到同一邊，只分析一個分式。

3. 3

   把所有項移到左邊並合併。 兩邊加 $1$ 得 $\dfrac{3}{x-1} \ge 3$，於是 $\frac{3}{x-1}-3 \ge 0 \Longrightarrow \frac{3-3(x-1)}{x-1} \ge 0 \Longrightarrow \frac{6-3x}{x-1} \ge 0.$

4. 4

   提出負號，有意識地把不等號反向一次。 $6-3x = -3(x-2)$，兩邊除以常數 $-3$ 時不等號方向要翻轉：$\frac{x-2}{x-1} \le 0.$ 現在它是兩個一次因式之商，形式很乾淨。

5. 5

   圍繞臨界值 1 與 2 列符號表。 取 $x=0$：$\tfrac{-2}{-1}=2>0$，不符。取 $x=1.5$：$\tfrac{-0.5}{0.5}=-1<0$，符合。取 $x=3$：$\tfrac{1}{2}>0$，不符。所以只有中間那一段成立。

6. 6

   判斷兩個端點。 $x=2$ 使分子為零，而 $\le 0$ 允許取零，所以 $x=2$ 要包含進來。$x=1$ 使分母為零，被定義域排除。於是 $1 < x \le 2, \qquad x \in (1,2].$ 檢驗：當 $x=2$ 時 $\tfrac{3}{1}-1=2$，恰好以等號滿足 $\ge 2$。