展開 (x − 2/√x)⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   **先架好二項式的形式。**四次方的係數是巴斯卡三角形的第五列 $1,4,6,4,1$，而且因為第二項是被減的，符號會正負交錯：

   $(A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4$

   取 $A=x$、$B=\dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}$。一開始就把 $B$ 改寫成分數指數，是讓後續算術保持順暢的關鍵。

2. 2

   **先看清楚指數會怎麼變化。**每一項都用一個 $B$（指數 $-\tfrac12$）換掉一個 $A$（指數 $+1$），所以指數每一項降低 $\tfrac32$：$4,\ \tfrac52,\ 1,\ -\tfrac12,\ -2$。事先知道這串數字，就能抓出任何閃失。

3. 3

   計算前三項。

   $A^4=x^4$

   $-4A^3B=-4x^3\cdot2x^{-1/2}=-8x^{5/2}$

   $6A^2B^2=6x^2\cdot\frac{4}{x}=24x$

   第三項是根號完全消失的地方，因為 $B^2=4x^{-1}$。

4. 4

   計算最後兩項。

   $-4AB^3=-4x\cdot\frac{8}{x^{3/2}}=-32x^{-1/2}=-\frac{32}{\sqrt{x}}$

   $B^4=\left(2x^{-1/2}\right)^4=\frac{16}{x^2}$

5. 5

   組出展開式。

   $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^4=x^4-8x^{5/2}+24x-\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

   定義域是 $x>0$，因為 $\sqrt{x}$ 出現在分母裡。

6. 6

   **在數個 x 值上做數值驗證。**在 $x=1$ 時原式與展開式都得到 $1$；在 $x=0.3$ 都得到 $126.1678$；在 $x=2.7$ 都得到 $4.83477$；在 $x=5.5$ 都得到 $466.40627$ ✓。四個分散的點（包含一個小於 $1$ 的）都吻合，確認了每個係數與指數。