將 x⁴ + x² − 2ax + 1 − a² 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   從頭尾兩項找出該湊的平方。 $x^4$ 與 $+1$ 讓人想到平方 $\left(x^2+1\right)^2=x^4+2x^2+1$。跟手上的式子比一比：題目只有一個 $x^2$，所以少了 $x^2$，而且多出 $-2ax-a^2$。

2. 2

   把帳算清楚。

   $x^4+x^2-2ax+1-a^2=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2-2ax-a^2=\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+2ax+a^2\right)$

   而右邊括號裡本身就是完全平方 $(x+a)^2$。於是整個式子就是

   $\left(x^2+1\right)^2-(x+a)^2$

   這是關鍵的一步，它也說明了「這個式子對任意 $a$ 都無法漂亮分解」的說法是錯的。

3. 3

   套用平方差公式。 取 $A=x^2+1$、$B=x+a$：

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=\left(x^2+1-x-a\right)\left(x^2+1+x+a\right)$

4. 4

   整理每個括號。

   $\left(x^2-x+1-a\right)\left(x^2+x+1+a\right)$

   兩個因式都是 $x$ 的二次式，參數只出現在常數項裡。

5. 5

   展開驗算。 乘開來，$x^3$ 項相消（$-x^3+x^3$），交叉項處理完後 $x^2$ 項是 $x^2+x^2-x^2=x^2$，$x$ 項併成 $-2ax$，常數項是 $(1-a)(1+a)=1-a^2$——完全還原成原式。隨機代一組數值（$x=1.5$、$a=0.7$）兩邊也相等。

6. 6

   檢查特例 $a=0$。 此時分解變成

   $\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^4+x^2+1$

   這是眾所周知的恆等式——而把 $a=0$ 代回原式，得到的也正是 $x^4+x^2+1$ ✓。