解不等式 4x² − 4x + 1 < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   盲目分解之前先找完全平方。 頭尾兩項都是平方，$4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$，而中間項是 $-2\cdot(2x)\cdot 1 = -4x$。這正是 $a^2-2ab+b^2$ 的形式，所以 $4x^2-4x+1=(2x-1)^2.$

2. 2

   用判別式再確認一次。 $\Delta = (-4)^2-4(4)(1) = 16-16 = 0$。判別式為零表示有重根，換句話說這個二次式是完全平方，只有唯一的根 $x=\tfrac12$。

3. 3

   利用平方的正負性質。 對每一個實數 $x$ 都有 $(2x-1)^2 \ge 0$。實數的平方可以是零，但永遠不可能嚴格為負，所以 $(2x-1)^2 < 0$ 這個要求根本達不到。

4. 4

   下結論：解集合是空的。 $4x^2-4x+1<0 \iff (2x-1)^2<0 \iff \varnothing.$ 從幾何上看，拋物線開口向上，在 $x=\tfrac12$ 與 $x$ 軸相切，卻從來不曾落到軸的下方。

5. 5

   把鄰近的幾種情形對照一下，才不會漏掉嚴格與否的差別。 $(2x-1)^2 \le 0$ 只有一個解 $x=\tfrac12$；$(2x-1)^2 > 0$ 的解是除了 $x=\tfrac12$ 以外的所有實數；$(2x-1)^2 \ge 0$ 則對所有實數 $x$ 都成立。只有嚴格的 $<$ 給出空集合。