解三次方程式 x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先檢查有理候選值。 $2000$ 的因數包括 $\pm 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000, 2000$。把合理的負數代進去得到 $f(-10) = 1000$、$f(-20) = 2000$、$f(-25) = 1375$、$f(-40) = -14000$：沒有零點，但 $-25$ 與 $-40$ 之間的變號把一個實根釘在那個範圍裡。

2. 2

   消去二次項。 取 $a = 40$、$b = 400$、$c = 2000$，代入 $x = y - \tfrac{40}{3}$。則

   $p = b - \frac{a^2}{3} = 400 - \frac{1600}{3} = -\frac{400}{3}, \qquad q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = \frac{128000}{27} - \frac{144000}{27} + \frac{54000}{27} = \frac{38000}{27}$

   得到 $y^3 - \tfrac{400}{3}y + \tfrac{38000}{27} = 0$。

3. 3

   計算判別式。

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{19000}{27}\right)^2 - \left(\frac{400}{9}\right)^3 = \frac{361000000 - 64000000}{729} = \frac{11000000}{27}$

   也就是 $\Delta \approx 407407.4 > 0$，所以有一個實根與兩個共軛複根。

4. 4

   套用卡丹公式並還原平移。

   $x = \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} + \sqrt{\frac{11000000}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} - \sqrt{\frac{11000000}{27}}} - \frac{40}{3}$

   數值上 $\sqrt{11000000/27} = 638.2847$、$\tfrac{19000}{27} = 703.7037$，所以兩個立方根是 $\sqrt[3]{-65.4190} = -4.02935$ 與 $\sqrt[3]{-1341.9884} = -11.03018$。兩者相加得 $y \approx -15.059534$，因此

   $x_1 = -15.059534 - 13.333333 = -28.392868$

5. 5

   求出那對共軛複根。 除掉 $(x - x_1)$ 之後剩下 $x^2 + 11.607132x + 70.440225$，它的根是

   $x = -5.803566 \pm 6.062907\,i$

6. 6

   用根與係數關係驗證。 三根之和 $= -28.392868 + 2(-5.803566) = -40.000000$，與 $-a = -40$ 相符。三根之積 $= -28.392868\left(5.803566^2 + 6.062907^2\right) = -28.392868 \times 70.440220 = -2000.0$，與 $-c = -2000$ 相符。把 $x_1$ 直接代回三次式，得到 $|f(x_1)| < 10^{-9}$。（常被引用的實根值 $-30.3393$ 是錯的：它給出 $f(-30.3393) \approx -1243$。）