x 取哪些值時，分式 (2 − 3x)/(x(x − 1)) 為正？

Step-by-step solution

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   先找出所有可能變號的點。 它們就是分子與分母的零點：

   $2-3x=0\Rightarrow x=\tfrac23;\qquad x=0;\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   這些點把數線分成四個區間：$(-\infty,0)$、$\left(0,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,1\right)$ 與 $(1,\infty)$。

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   檢驗 x < 0 這一段（取 $x=-1$）。分子 $2-3(-1)=5>0$；分母 $(-1)(-2)=2>0$（負乘負得正）。分式為正 ✓。

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   檢驗 0 < x < 2/3（取 $x=0.5$）。分子 $2-1.5=0.5>0$；分母 $(0.5)(-0.5)=-0.25<0$。分式為負 ✗。

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   檢驗 2/3 < x < 1（取 $x=0.8$）。分子 $2-2.4=-0.4<0$；分母 $(0.8)(-0.2)=-0.16<0$。負除以負得正 ✓。

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   檢驗 x > 1（取 $x=2$）。分子 $2-6=-4<0$；分母 $(2)(1)=2>0$。分式為負 ✗。

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   把為正的區間收攏起來。 三個臨界點全都要排除 —— $x=\tfrac23$ 讓分式等於零（不是正的），而 $x=0,1$ 讓分式沒有定義：

   $\boxed{\{x<0\}\cup\left\{\tfrac23<x<1\right\}}$

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   用交替變號的規律複核。 三個因式都是單次的（奇重數），所以在每個臨界點處符號一定會改變。由左往右讀出的符號模式是 $+,-,+,-$ —— 與四個測試值算出來的結果完全一致，可確認沒有哪一段的正負判錯。