解不等式 (2x − 1)(x + 1)/(x² + x + 2) ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先審視分母。 對 $x^{2}+x+2$，判別式是

   $\Delta=1^{2}-4(1)(2)=1-8=-7<0,$

   而最高次項係數為正，所以這條拋物線永遠不與橫軸相交：

   $x^{2}+x+2>0\quad\text{對每一個實數 }x.$

   單憑這一個事實，大部分的活就做完了——沒有需要排除的點，分數線下方也不會帶來任何正負號變化。

2. 2

   化歸成多項式不等式。 兩邊同乘一個嚴格為正的量不會改變不等號，所以

   $\frac{(2x-1)(x+1)}{x^{2}+x+2}\le0\iff(2x-1)(x+1)\le0.$

   如果分母有可能變號，這個等價就不成立了——這正是第 1 步必須擺在最前面的原因。

3. 3

   找出臨界點。 令每個因式為零：

   $2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac12,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1.$

   這兩點都讓分子為零而分母不為零，所以整個分式在那裡等於 $0$——這滿足 $\le0$，也就表示兩個端點都要算進解裡。

4. 4

   讀出二次式的正負號。 乘積 $(2x-1)(x+1)$ 是一條開口向上的拋物線，所以它在兩根之間為負、在兩根之外為正。取點驗證：$x=-2$ 時 $(-5)(-1)=5>0$；$x=0$ 時 $(-1)(1)=-1<0$；$x=1$ 時 $(1)(2)=2>0$。

5. 5

   寫出解集。 把為負的區間和兩個零點合起來：

   $x\in\left[-1,\ \tfrac12\right].$

   對原分式抽查：$x=-2$ 時是 $\tfrac{5}{4}>0$（不在解裡）✓，$x=0$ 時是 $-\tfrac12<0$（在解裡）✓，$x=\tfrac12$ 時是 $0$（在解裡）✓，$x=1$ 時是 $\tfrac12>0$（不在解裡）✓。