解方程式 √(2x + 1) = x − 1。

Step-by-step solution

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   平方之前先把定義域釘死。 左邊是算術平方根，所以它 $\ge 0$；那麼右邊也必須 $\ge 0$，得到 $x \ge 1$。被開方數只要求 $2x + 1 \ge 0$，即 $x \ge -\tfrac12$，這個條件比較弱。真正起約束作用的是

   $x \ge 1$

   平方這一步不可逆，所以稍後能把真解與假解分開的，就只有這個條件。

2. 2

   兩邊平方。

   $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

3. 3

   移項後分解。

   $0 = x^2 - 4x = x(x-4) \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{或}\ x = 4$

   常數 $1$ 在兩邊相消掉了，這也是二次式能分解得這麼乾淨的原因。

4. 4

   把兩個候選值放回定義域與原方程式檢驗。 $x = 0$ 不滿足 $x \ge 1$；就算硬代進去，左邊是 $\sqrt{1} = 1$，右邊是 $0 - 1 = -1$，所以它是增根——它只滿足平方後的那個方程式。再看 $x = 4$：$\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$，而 $4 - 1 = 3$，成立。

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   寫出解。

   $x = 4$

   從幾何上看，曲線 $y = \sqrt{2x+1}$ 與直線 $y = x - 1$ 恰好只交於一點 $(4,3)$；而 $x = 0$ 是直線與翻摺出來的那一支 $y = -\sqrt{2x+1}$ 的交點，平方把這一支悄悄捲了進來。