解方程式：8/(8.9 − x) = (71 − x·√((8.9 − x)² − 64)/(8.9 − x))/71，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定義域定下來。 我們需要 $8.9-x\neq0$ 且 $(8.9-x)^2-64\ge0$，也就是 $|8.9-x|\ge8$，意思是

   $x\le 0.9\qquad\text{或}\qquad x\ge 16.9$

   每個候選根都必須通過這個檢驗，而稍後的平方會製造出通不過的假根。

2. 2

   把兩層分母都清掉。 先乘以 $71$，再乘以 $8.9-x$：

   $568=71(8.9-x)-x\sqrt{(8.9-x)^2-64}$

   由於 $71(8.9)=631.9$，整理後得到

   $x\sqrt{(8.9-x)^2-64}=631.9-71x-568=63.9-71x$

3. 3

   把根號裡的式子分解成平方差。 這一步是讓題目變得可解的關鍵：

   $(8.9-x)^2-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x)$

   同時 $63.9-71x=71(0.9-x)$。同一個因式 $0.9-x$ 在等號兩邊都出現，所以方程式成為

   $x\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=71(0.9-x)$

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   第一個解可以直接讀出來。 若 $0.9-x=0$，兩邊都是零，所以 $x=0.9$ 是一個精確解。代回原式檢查：左邊是 $\tfrac{8}{8}=1$，右邊的根號為 $0$，得 $\tfrac{71-0}{71}=1$ ✓。

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   處理剩下的那一支。 當 $x<0.9$ 時 $0.9-x>0$，所以 $\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=\sqrt{0.9-x}\,\sqrt{16.9-x}$，其中一個 $\sqrt{0.9-x}$ 可以約掉：

   $x\sqrt{16.9-x}=71\sqrt{0.9-x}\ \Longrightarrow\ x^{2}(16.9-x)=5041(0.9-x)$

   $\Longrightarrow\ x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0$

   （$x\ge16.9$ 那一支不可能：在那裡左邊 $\ge0$，而 $71(0.9-x)<0$。）

6. 6

   解三次方程式，並剔除增根。 它的三個根是 $-63.5486$、$0.8974433$ 與 $79.5511$。平方的前提要求 $x>0$ 且 $x\le0.9$，所以第一個與第三個都是增根——把它們代回原方程式，得到的是 $-1.78$ 與 $-2.23$，而不是 $0$。只有

   $x=0.8974433$

   通過檢驗，而且它把原方程式還原到 $10^{-8}$ 的誤差內 ✓。

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   寫出兩個答案。 完整的解為 $x=0.9$ 與 $x\approx0.8974433$。注意 $(x-0.9)$ 乘上那個三次式，恰好還原成四次式 $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$，可見沒有漏掉任何根。