把下列各多項式寫成乘積形式：(a) 27x^3 + y^3、(b) x^3 - 8y^3、(c) x^3 + 512。接著展開 (x + 1)(x^2 - x + 1)，並說明結果如何印證你所用的公式。

Step-by-step solution

1. 1

   先記熟兩個公式，更重要的是記住它們的「長相」。 所有立方的因式分解都來自

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

   與其硬背符號，不如記成一句話：一次因式的正負號和原式相同（加配加、減配減），而二次因式裡中間項的正負號相反，兩端兩項則永遠是正的。這一條規則就能避開最常見的錯誤——把 $a^2-ab+b^2$ 寫成 $a^2-2ab+b^2$（那其實只是 $(a-b)^2$）。

2. 2

   (a) 認出 $27x^3+y^3$ 裡的兩個立方。 這裡唯一要做的就是看出 $27=3^3$，所以

   $27x^3=(3x)^3,\qquad y^3=y^3\ \Longrightarrow\ a=3x,\; b=y$

   代入立方和公式：

   $27x^3+y^3=(3x+y)\big((3x)^2-(3x)(y)+y^2\big)=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$

   注意 $(3x)^2=9x^2$ 而不是 $3x^2$——把整項 $3x$ 一起平方，正是正負號都對、數字卻算錯的常見來源。

3. 3

   (b) $x^3-8y^3$ 要用立方差公式。 這裡 $8y^3=(2y)^3$，所以 $a=x$、$b=2y$，套減號版本：

   $x^3-8y^3=(x-2y)\big(x^2+x(2y)+(2y)^2\big)=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

   二次因式 $x^2+2xy+4y^2$ 在實數範圍內無法再分解：把它看成 $x$ 的二次式，判別式是 $(2y)^2-4(4y^2)=-12y^2<0$。每一個立方因式分解裡的二次因式都有這個性質，這也是答案永遠恰好是兩個因式的原因。

4. 4

   (c) 認出 $512$ 是完全立方數。 因為 $512=8^3$，在立方和公式裡取 $a=x$、$b=8$：

   $x^3+512=x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$

   用常數項快速檢查：兩個常數項相乘必須還原原本的常數，而 $8\times 64=512$。✓

5. 5

   展開 $(x+1)(x^2-x+1)$，從另一個方向看這個公式。 逐項乘開：

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   中間所有項兩兩相消——$-x^2$ 配 $+x^2$、$+x$ 配 $-x$——只剩下

   $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$

   這正是 $a=x$、$b=1$ 的 $a^3+b^3$。這個相消就是二次因式中間項必須是 $-ab$ 的原因：它負責把多出來的兩個中間項消掉。

6. 6

   每個答案都乘回去或代一個數字檢查。 最快的檢查是代一個好算的數。以 (c) 在 $x=2$ 為例：原式得 $8+512=520$，因式形式得 $(2+8)(4-16+64)=10\times 52=520$。✓ 每小題做一次數值驗算，抓正負號錯誤遠比重看一次代數可靠。