解不等式 −7 > 3x(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   把右邊展開。

   $3x(x-2)=3x^2-6x\quad\Longrightarrow\quad -7>3x^2-6x$

2. 2

   整理成標準式。 把所有項移到能讓 $x^2$ 保持正號的那一邊；減去 $-7$ 再把讀法反過來，得到

   $3x^2-6x+7<0$

   （把 $-7>E$ 讀成 $E<-7$ 是同一句話，只是把式子寫在前面而已。）

3. 3

   算判別式。 取 $a=3$、$b=-6$、$c=7$：

   $\Delta=(-6)^2-4(3)(7)=36-84=-48<0$

   沒有實根，所以任何地方都不會變號。

4. 4

   確定那個固定不變的符號。 因為 $a=3>0$，拋物線開口向上，整條都待在軸的上方。配方可以把它量化：

   $3x^2-6x+7=3(x-1)^2+4\ge 4$

5. 5

   下結論並檢查。 一個永遠至少是 $4$ 的量絕不可能是負的，所以這個不等式無解。用頂點 $x=1$ 抽查：$3(1)(1-2)=-3$，而 $-7>-3$ 是錯的 $\checkmark$ — 就算在最有利的一點，不等式也不成立。