設 z 為複數，且 (z − 1) 的共軛複數乘以 (4 + 8i) 等於 2，求 z 的絕對值平方之值。

Step-by-step solution

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   先想清楚為什麼不能只用絕對值抄捷徑。 兩邊取絕對值得 $|z-1|\cdot|4+8i|=2$，即 $|z-1|=\tfrac{2}{\sqrt{80}}$。那是 $z$ 到 $1$ 的距離，不是 $|z|$，並不能決定 $|z|^2$。我們必須真的把 $z$ 本身解出來。

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   把共軛項孤立出來並做分母有理化。 兩邊同除以 $4+8i=4(1+2i)$，再乘上分母的共軛：

   $\overline{(z-1)}=\frac{2}{4(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-2i}{10}.$

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   兩邊取共軛，把上面那一橫去掉。 取共軛是自身的反運算，$\overline{\overline{w}}=w$，所以

   $z-1=\overline{\left(\frac{1-2i}{10}\right)}=\frac{1+2i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i.$

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   解出 $z$。 兩邊加 $1$：

   $z=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i=\frac{11}{10}+\frac{1}{5}i.$

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   套用 $|z|^2=a^2+b^2$。 其中 $a=\tfrac{11}{10}$、$b=\tfrac15$：

   $|z|^2=\frac{121}{100}+\frac{1}{25}=\frac{121}{100}+\frac{4}{100}=\frac{125}{100}=\frac54.$

   驗算：$\overline{(z-1)}(4+8i)=\left(\tfrac{1-2i}{10}\right)(4+8i)=\tfrac{4+8i-8i+16}{10}=2$，與題目相符。