把式子 x² + 8xy + 16y² − 4z 改寫成更簡單的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   先檢驗前三項是不是完全平方。 三項式 $A^2 + 2AB + B^2$ 要求頭尾兩項都是平方，中間項是這兩者乘積的兩倍。這裡 $x^2 = (x)^2$、$16y^2 = (4y)^2$，而

   $2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$

   與中間項恰好吻合。

2. 2

   寫出這個平方。

   $x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$

3. 3

   把剩下那一項拼回來。

   $x^2 + 8xy + 16y^2 - 4z = (x + 4y)^2 - 4z$

4. 4

   說明為什麼到這裡就到頭了。 $(x+4y)^2 - 4z$ 要成為平方差，前提是 $4z$ 自己也是個平方，也就是存在某個式子 $w$ 使 $z = w^2$；那時它才能分解成 $\left(x + 4y - 2w\right)\left(x + 4y + 2w\right)$。而當 $z$ 是不受任何限制的獨立變數時，在多項式環裡就不存在更進一步的分解了。

5. 5

   數值核對。 取 $(x, y, z) = (3, -1, 2)$：原式給出 $9 - 24 + 16 - 8 = -7$，而 $(3 - 4)^2 - 8 = 1 - 8 = -7$。取 $(2, 1, 0)$：$4 + 16 + 16 - 0 = 36$，而 $(2+4)^2 = 36$。兩處都吻合。