求 6ˣ = x¹⁸ 的所有實數解。

Step-by-step solution

1. 1

   先釐清定義域。 當 $x>0$ 時兩邊都是正的。當 $x<0$ 時，右邊的 $x^{18}$ 因為指數是偶數仍然為正，而 $6^x>0$ 也成立，所以負的 $x$ 是允許的。在 $x=0$ 處會得到 $1=0$，不成立，因此 $x=0$ 被排除。

2. 2

   把正數的情況化成一個先升後降的函數。 對 $x>0$ 把 $6^x=x^{18}$ 兩邊取對數：

   $x\ln 6=18\ln x\quad\Longrightarrow\quad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 6}{18}\approx 0.0995422$

   函數 $g(x)=\tfrac{\ln x}{x}$ 的導數是 $g'(x)=\tfrac{1-\ln x}{x^2}$，所以它在 $(0,e]$ 上遞增、在 $[e,\infty)$ 上遞減，最大值是 $g(e)=\tfrac1e\approx 0.3679$。因為 $0<0.0995<\tfrac1e$，那條水平線與它恰好交兩次。

3. 3

   看出那個精確的大根。 試 $x=36$：因為 $36=6^2$，

   $36^{18}=\left(6^2\right)^{18}=6^{36}$

   所以 $x=36$ 精確地滿足方程式。用 $g$ 確認一次：$\tfrac{\ln 36}{36}=\tfrac{3.583519}{36}=0.0995422$ $\checkmark$。

4. 4

   用數值方法找較小的那個正根。 因為 $g(1)=0$ 而 $g$ 一路遞增到 $g(e)$，這個根必定落在 $(1,e)$ 內。對 $g(x)-0.0995422$ 做二分法得到

   $x\approx 1.1176815$

   檢查：$6^{1.1176815}\approx 7.4084$，而 $1.1176815^{18}\approx 7.4084$ $\checkmark$。

5. 5

   說明負根恰好只有一個。 令 $x=-t$，其中 $t>0$；方程式變成 $6^{-t}=t^{18}$，也就是 $h(t)=6^{t}t^{18}=1$。因為

   $\frac{d}{dt}\ln h(t)=\ln 6+\frac{18}{t}>0$

   $h$ 由 $0$ 嚴格遞增到 $\infty$，所以 $h(t)=1$ 恰有一組解。二分法得 $t\approx 0.9131150$，即 $x\approx-0.9131150$；在該處 $6^{x}\approx 0.194741$，而 $x^{18}\approx 0.194741$ $\checkmark$。

6. 6

   把三個根匯總起來。 一個負根、兩個正根，由上面的單調性論證可知不會再有其他根：

   $x\approx-0.91311,\qquad x\approx 1.11768,\qquad x=36$