解 0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有項移到同一邊。 兩邊同減 $0.2$：

   $f(x)=4.6092x^{3}+9.2964x^{2}+2.7507x-0.1749=0$

   我們要的就是 $f$ 的根。係數除了常數項以外都是正的，所以依笛卡兒符號法則，恰有一個正實根。

2. 2

   用一個會變號的區間把根夾住。 仔細計算：

   $f(0)=-0.1749,\qquad f(0.05)=-0.0135,\qquad f(0.06)=+0.0246$

   符號在 $0.05$ 與 $0.06$ 之間翻轉，根就落在那裡。這些測試值的每一位都要算對——一旦 $f(0.06)$ 算錯，夾根區間就會跑到錯的地方，然後理直氣壯地給出錯的答案。

3. 3

   把那個關鍵測試點的算式核一遍。 取 $x=0.06$：$4.6092(0.000216)=0.000996$、$9.2964(0.0036)=0.033467$、$2.7507(0.06)=0.165042$。相加後再減常數：$0.199505-0.1749=+0.024605$。是正的，確認夾根區間為 $[0.05,0.06]$。

4. 4

   用牛頓法逼近。 取 $f'(x)=13.8276x^{2}+18.5928x+2.7507$、$x_{0}=0.055$，依序得到 $0.0536168$、$0.0536118$、$0.0536118$——收斂到小數點後七位：

   $x\approx 0.0536118$

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   驗根，並交代其餘的根。 $f(0.0536118)=0.0000002$ ✓。這個三次式的另外兩根 $x\approx-0.43195$ 與 $x\approx-1.63858$ 都是負的；若這個變數代表某個實體量，通常會捨去，留下 $x\approx 0.0536$ 作為答案。