設 a、b 為實數，聯立不等式 x² − 5x + a < 0 與 x² + 3x + b < 0 的解為 1 < x < 2，求數對 (a, b)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把題目條件翻譯過來。 兩個不等式左邊都是開口向上的拋物線，所以各自的解都是那個二次式兩根之間的開區間。聯立的解就是兩個區間的交集，而題目告訴我們

   $\left(\alpha_1, \beta_1\right) \cap \left(\alpha_2, \beta_2\right) = (1, 2)$

2. 2

   用根與係數關係鎖住兩組根的和。 不管 $a$ 與 $b$ 是多少，$x$ 的係數都把和固定住了：

   $\alpha_1 + \beta_1 = 5, \qquad \alpha_2 + \beta_2 = -3$

   這正是讓題目有解的關鍵限制——兩個區間不能任意選。

3. 3

   對上交集的兩個端點。 交集 $(1,2)$ 的左端點 $1$ 與右端點 $2$，各由其中一個區間提供。先試 $\alpha_1 = 1$：那麼 $\beta_1 = 5 - 1 = 4$，所以第一個區間是 $(1, 4)$，由它提供左端點。右端點就必須由第二個區間提供，於是 $\beta_2 = 2$、$\alpha_2 = -3 - 2 = -5$，得到 $(-5, 2)$。

4. 4

   由兩根之積讀出 a 與 b。 根與係數關係中「積」的部分給出常數項：

   $a = \alpha_1\beta_1 = 1 \times 4 = 4, \qquad b = \alpha_2\beta_2 = (-5)(2) = -10$

5. 5

   驗證因式分解與交集。 $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) < 0$ 的解是 $(1,4)$，而 $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) < 0$ 的解是 $(-5,2)$。它們的交集是 $(1,4) \cap (-5,2) = (1,2)$，正如題目要求。

6. 6

   確認沒有別的分配方式。 假如改由第二個區間提供左端點，那麼 $\alpha_2 = 1$、$\beta_2 = -4$——這不可能，因為必須有 $\beta_2 > \alpha_2$。所以 $(a,b) = (4,-10)$ 是唯一解。