解聯立方程式 x1 − 3x2 + 4x3 = −4、3x1 − 7x2 + 7x3 = −8、−4x1 + 6x2 + 2x3 = 4。

Step-by-step solution

1. 1

   挑選能避開分數的樞紐元。 第一式的 $x_1$ 係數本來就是 $1$，所以用它把另外兩式裡的 $x_1$ 消掉。這裡若改挑別的樞紐元，馬上就會冒出三分之幾或四分之幾。

2. 2

   從第二式消去 x1。 第二式減去 $3\times$（第一式）：

   $(3x_1-7x_2+7x_3)-3(x_1-3x_2+4x_3)=-8-3(-4)$
   $2x_2-5x_3=4.$

3. 3

   從第三式消去 x1。 第三式加上 $4\times$（第一式）：

   $(-4x_1+6x_2+2x_3)+4(x_1-3x_2+4x_3)=4+4(-4)$
   $-6x_2+18x_3=-12\quad\Longrightarrow\quad x_2-3x_3=2.$

4. 4

   解化簡後的二元聯立方程式。 由 $x_2=2+3x_3$ 代入 $2x_2-5x_3=4$：

   $2(2+3x_3)-5x_3=4\ \Longrightarrow\ 4+x_3=4\ \Longrightarrow\ x_3=0,$

   因此 $x_2=2$。

5. 5

   回代求 x1。 用第一式：

   $x_1=-4+3x_2-4x_3=-4+6-0=2.$

6. 6

   代回三個原式驗算。 $2-6+0=-4$ ✓；$6-14+0=-8$ ✓；$-8+12+0=4$ ✓。係數行列式為 $6\neq 0$，所以這組解 $(x_1,x_2,x_3)=(2,2,0)$ 是唯一解。