把 75a⁶ − 147b¹⁶ 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   永遠先提出最大公因數。 照原樣看，$75a^6$ 與 $147b^{16}$ 都不是完全平方，平方差公式還套不上去。先分解係數：

   $75=3\cdot 25,\qquad 147=3\cdot 49$

   變數之間沒有共同的東西——$a^6$ 與 $b^{16}$ 沒有共同的字母——所以公因式只有數字 $3$：

   $75a^6-147b^{16}=3\left(25a^6-49b^{16}\right)$

2. 2

   檢查括號裡的每一項是不是完全平方。 這正是提公因數那一步的目的。單項式是完全平方的條件是：係數是平方數，而且指數都是偶數：

   $25a^6=(5a^3)^2\qquad\text{因為 } 5^2=25 \text{ 且 } (a^3)^2=a^6$

   $49b^{16}=(7b^8)^2\qquad\text{因為 } 7^2=49 \text{ 且 } (b^8)^2=b^{16}$

   訣竅就是把指數折半：$6/2=3$、$16/2=8$。

3. 3

   套用平方差公式。 令 $u=5a^3$、$v=7b^8$，

   $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$

   得到

   $25a^6-49b^{16}=(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

4. 4

   把剛才擱在一旁的公因數放回來。 別把 $3$ 弄丟了——這是這類題目最常見的失誤：

   $75a^6-147b^{16}=3(5a^3-7b^8)(5a^3+7b^8)$

5. 5

   確認不能再分，再抽查一次。 像 $5a^3+7b^8$ 這種平方和在實數上永遠分不開；$5a^3-7b^8$ 也不是平方差，因為 $5$ 與 $7$ 都不是完全平方數，而且指數 $3$ 是奇數。保險起見把答案展開回去：

   $3\left[(5a^3)^2-(7b^8)^2\right]=3\left(25a^6-49b^{16}\right)=75a^6-147b^{16}$

   與原式相符。