解方程式 x^2 - 2 sqrt(3) = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把常數移到另一邊。 常數項剛好是無理數，但這對代數運算毫無影響：

   $x^2=2\sqrt{3}$

2. 2

   檢查右邊的正負。 $2\sqrt3\approx 3.4641>0$，所以確實有實數解。（若常數是負的，$x^2$ 就得是負數，那就沒有實根。）

3. 3

   兩邊開平方，正負都要取。

   $x=\pm\sqrt{2\sqrt{3}}$

4. 4

   用分數指數改寫巢狀根式。 這是最整齊的精確形式：

   $\sqrt{2\sqrt3}=\left(2\cdot 3^{1/2}\right)^{1/2}=2^{1/2}\,3^{1/4}=\sqrt{2}\,\sqrt[4]{3}$

   數值上 $\sqrt2\approx 1.41421$、$\sqrt[4]3\approx 1.31607$，於是 $x\approx\pm 1.8612$。

5. 5

   平方回去驗證。 $1.8612^2\approx 3.4641$，而 $2\sqrt3\approx 3.4641$ $\checkmark$。兩根互為相反數，形如 $x^2=k$ 的方程式一向如此。