解 (x + 25)/(x + 125) − x/(x + 100) = 1/10，並寫出 x 的限制條件。

Step-by-step solution

1. 1

   先把限制條件寫下來。 兩個分母都不能為零，所以

   $x\ne-125,\qquad x\ne-100.$

   最後算出的兩個候選根都得拿回來跟這兩條對照一遍。

2. 2

   通分合併，留意這裡會大面積相消。 取公分母 $(x+125)(x+100)$：

   $(x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500,\qquad x(x+125)=x^{2}+125x,$

   於是分子是

   $\left(x^{2}+125x+2500\right)-\left(x^{2}+125x\right)=2500.$

   所有帶 $x$ 的項都相消掉了，只留下一個常數比二次式：

   $\frac{2500}{(x+125)(x+100)}=\frac{1}{10}.$

   注意正負號：照這個順序相減剩下的是 $+2500$，而把兩個分式交換位置剩下的就是 $-2500$——而正是這個符號決定了究竟有沒有實數解。

3. 3

   交叉相乘，整理成二次方程式。 由 $25000=(x+125)(x+100)=x^{2}+225x+12500$：

   $x^{2}+225x-12500=0.$

   常數項現在是負的，所以由根與係數關係可知兩根正負相反——一正一負。

4. 4

   求解並化簡根式。 判別式是

   $\Delta=225^{2}+4(12500)=50625+50000=100625>0,$

   所以有兩個實根。把平方因數提出來：$100625=625\times161$，而 $161=7\times23$ 不含平方因數，於是 $\sqrt{100625}=25\sqrt{161}$。因此

   $x=\frac{-225\pm25\sqrt{161}}{2}.$

5. 5

   取近似值並驗算。 用 $\sqrt{161}\approx12.6886$：

   $x\approx46.107\qquad\text{或}\qquad x\approx-271.107.$

   兩者都不等於 $-100$ 或 $-125$，所以都是有效解。把 $x=46.107$ 代回：$\frac{71.107}{171.107}-\frac{46.107}{146.107}=0.41557-0.31557=0.10000$ ✓，負根在同樣精度下也驗得過 ✓。對照一下把兩個分式調換順序的方程式 $\frac{x}{x+100}-\frac{x+25}{x+125}=\frac1{10}$，它的判別式是 $-99375$，根本沒有實數解。