解 3ˣ = x⁹，求實數 x。

Step-by-step solution

1. 1

   用左邊把定義域縮小。 對每一個實數 $x$ 都有 $3^{x}>0$，所以 $x^{9}$ 也必須是正的。由於 $9$ 是奇數，$x^{9}>0$ 就逼出

   $x>0$

   因此只需要考慮正的 $x$——而這時取對數也才合法。

2. 2

   取對數，把兩邊都化成乘積。 對 $x>0$：

   $x\ln3=9\ln x\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln3}{9}\approx0.122068$

   題目已經變成：曲線 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在哪裡碰到那條固定的水平線？

3. 3

   先找出那個精確的根。 試著把兩邊都寫成同一個底的次方。因為 $27=3^{3}$，

   $27^{9}=\left(3^{3}\right)^{9}=3^{27}\ \checkmark$

   所以 $x=27$ 精確地滿足方程式——用整數精確運算驗證過 ✓。（相對地 $x=9$ 不行：$3^{9}=19683$ 但 $9^{9}=387\,420\,489$，$x=3$ 也不行。）

4. 4

   從 $g$ 的形狀數出根的個數。 微分得 $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$，它在 $x<e$ 時為正、在 $x>e$ 時為負。所以 $g$ 先升到唯一的最大值 $g(e)=1/e\approx0.3679$，之後遞減到 $0$。由於目標高度 $0.122068$ 低於那個最大值，又高於 $0$，那條水平線恰好與曲線相交兩次——$x=e$ 的每一側各一次。已知的根 $27$ 落在右側，所以第二個根必定在 $(1,e)$ 裡。

5. 5

   用數值方法定位第二個根。 在 $(1,e)$ 上對 $g(x)=\ln3/9$ 做二分法，收斂到

   $x\approx1.1508248$

   驗算：$3^{1.1508248}=3.5406498$、$1.1508248^{9}=3.5406493$ ✓，吻合到 $10^{-6}$。所以這個方程式有兩個實數解——只報 $x=27$ 會漏掉一半的答案：

   $x=27\qquad\text{與}\qquad x\approx1.15082$