解不等式 |2x − 1| ≤ 3。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $|A|\le b$ 翻成一條連鎖不等式。 絕對值量的是與 $0$ 的距離，要求它至多是 $3$，就把 $2x-1$ 限制在 $-3$ 與 $3$ 之間的封閉帶狀範圍：

   $-3\le2x-1\le3$

   因為關係是至多（不是至少），結果會是一個有界區間，而不是兩條射線 —— 不等號的方向決定了答案的形狀。

2. 2

   三個部分同時加 1。 每一處都加同一個常數，兩個方向都不受影響：

   $-3+1\le2x\le3+1\qquad\Longrightarrow\qquad-2\le2x\le4$

3. 3

   三個部分同時除以 2。 除數是正的，所以不必翻轉不等號：

   $-1\le x\le2$

4. 4

   把答案寫成閉區間。

   $[-1,2]$

   兩個端點都包含在內，因為原題允許取等號 —— 中括號記錄的正是這件事。

5. 5

   驗端點，也驗區間外。 在 $x=-1$：$|2(-1)-1|=|-3|=3\le3$ ✓。在 $x=2$：$|4-1|=3\le3$ ✓。在中心 $x=\tfrac12$：$|0|=0$ ✓。剛出界一點的 $x=3$ 給出 $|5|=5$ ✗。把原始不等式與 $[-1,2]$ 在 $90$ 個精確有理點上逐一比對，處處吻合 ✓。注意這個區間以 $x=\tfrac12$ 為中心，也就是使 $2x-1=0$ 的點，半徑為 $\tfrac32$。