解方程式：根號 (x² − 6x + 25) 等於 3 − x。

Step-by-step solution

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   先記下定義域條件。 平方根絕不會是負的，所以任何解都必須滿足 $3-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.$ 跳過這一步，正是這類題目讓增根矇混過關的原因。

2. 2

   兩邊平方。 $x^2-6x+25 = (3-x)^2 = 9-6x+x^2.$

3. 3

   把兩邊相同的項消掉。 $x^2$ 和 $-6x$ 兩邊都有，全部抵銷，只剩下 $25 = 9.$

4. 4

   解讀這個矛盾。 沒有任何 $x$ 能讓 $25$ 等於 $9$，所以平方後的方程式——以及原來的方程式——都沒有解。

5. 5

   再用幾何確認一次。 $\sqrt{x^2-6x+25} = \sqrt{(x-3)^2+16}$ 是點 $(x,0)$ 到 $(3,4)$ 的距離，永遠至少是 $4$；而 $3-x$ 卻得等於它，把 $\sqrt{(x-3)^2+16}$ 和 $3-x$ 比較會得到對每個 $x$ 都有 $(x-3)^2+16 > (3-x)^2$。左邊永遠嚴格大於右邊。

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   和同型題目對照。 把右邊換成常數 $5$，得到 $\sqrt{x^2-6x+25}=5$，它確實有解 $x=0$ 與 $x=6$。真正製造矛盾的，是右邊那個會變動的式子。