解 −4.3289x² − 0.9671x + 40.328 = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   讀出係數，並預判圖形的樣子。

   $a=-4.3289,\qquad b=-0.9671,\qquad c=40.328$

   因為 $a<0$ 且 $c>0$，這條開口向下的拋物線會在原點的兩側各與 x 軸相交一次，所以可以預期一個負根、一個正根。

2. 2

   計算判別式。

   $\Delta=(-0.9671)^2-4(-4.3289)(40.328)=0.935282+698.303517=699.238799$

   $\sqrt{\Delta}=26.443124$

3. 3

   代入公式解。

   $x=\frac{0.9671\pm 26.443124}{2(-4.3289)}=\frac{0.9671\pm 26.443124}{-8.6578}$

   $x_1=\frac{0.9671+26.443124}{-8.6578}=-3.16596,\qquad x_2=\frac{0.9671-26.443124}{-8.6578}=2.94255$

4. 4

   用兩根之和驗算。 根與係數關係的第一式說 $x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$：

   $-\frac{-0.9671}{-4.3289}=-0.223405,\qquad -3.16596+2.94255=-0.22341\;\checkmark$

5. 5

   用兩根之積驗算。 根與係數關係的第二式說 $x_1x_2=\tfrac{c}{a}$：

   $\frac{40.328}{-4.3289}=-9.3159925,\qquad (-3.16596)(2.94255)=-9.3159956$

   兩者已經吻合到六位有效數字；第七位的差異純粹來自把兩根四捨五入到小數點後五位，若多帶幾位（$-3.1659572$ 與 $2.9425517$），乘積會收緊到 $-9.3159927$ $\checkmark$。這兩項驗算合起來，不必重跑公式就能把兩個根釘死。