用綜合除法把 2x³ + 2x² + 2x − 1 除以 x − 1。

Step-by-step solution

1. 1

   從除式裡讀出 $c$。 綜合除法要求除式寫成 $x-c$ 的形式。這裡 $x-1$ 對應 $c=+1$——符號要翻轉，誤取 $c=-1$ 是最常見的錯誤。

2. 2

   列出係數，缺項要補零。 這個三次式各次方都齊全，所以不需要補零佔位：

   $2,\ 2,\ 2,\ -1$

3. 3

   取 $c=1$，按「落下—乘—加」的循環算。 先把 $2$ 落下來；乘以 $1$ 後加到下一個係數上，如此反覆：

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 2 & 2 & -1\\ & & 2 & 4 & 6\\ \hline & 2 & 4 & 6 & 5\end{array}$

4. 4

   從最後一列讀出答案。 最後一個數是餘式，其餘是商的係數，商的次數比被除式低一次：

   $\text{商}=2x^{2}+4x+6,\qquad \text{餘式}=5$

5. 5

   用餘式定理核對餘式。 除以 $x-1$ 得到的餘式必然是 $f(1)$：

   $f(1)=2+2+2-1=5$

   與右下角那個數完全一致 ✓——一行就能完成的獨立檢驗。

6. 6

   展開還原，驗證整個恆等式。

   $(x-1)(2x^{2}+4x+6)+5=2x^{3}+4x^{2}+6x-2x^{2}-4x-6+5=2x^{3}+2x^{2}+2x-1$

   正是原來的多項式 ✓。