已知 2x − y = 480 且 2y − x + m/3 = 0，用 m 表示 x 與 y，並求使 x + y ≤ 8m/3 成立的 m 值。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個方程式與不等式分開處理。 對每個 $m$，兩個方程式唯一決定 $x$ 與 $y$；不等式接著篩選出 $m$ 可以取哪些值。先解方程式、再檢驗不等式，是唯一行得通的順序，因為光靠不等式無法定出 $x$ 與 $y$。

2. 2

   把第二式寫成標準形式。 由 $2y-x+\dfrac{m}{3}=0$ 可得

   $-x+2y=-\frac{m}{3}$

3. 3

   代入求 $x$，特別留意正負號。 由第一式得 $y=2x-480$；代入後，

   $-x+2(2x-480)=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 3x-960=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 9x-2880=-m$

   接著小心地把未知數分離出來：$9x=2880-m$，所以

   $x=\frac{2880-m}{9}$

   $9x-2880=-m$ 的右邊是 $-m$，兩邊加上 $2880$ 得到的是 $2880-m$，不是 $m-2880$。這一個符號就是本題全部的難處。

4. 4

   回代求 $y$。

   $y=2x-480=\frac{5760-2m}{9}-\frac{4320}{9}=\frac{1440-2m}{9}$

   用 $m=0$ 檢查：$x=320$、$y=160$，確實 $2(320)-160=480$ ✓ 且 $2(160)-320+0=0$ ✓。

5. 5

   算出 $x+y$ 再代入不等式。

   $x+y=\frac{2880-m+1440-2m}{9}=\frac{4320-3m}{9}=\frac{1440-m}{3}$

   於是條件 $x+y\le\dfrac{8m}{3}$ 變成

   $\frac{1440-m}{3}\le\frac{8m}{3}\ \Longrightarrow\ 1440-m\le 8m\ \Longrightarrow\ 1440\le 9m\ \Longrightarrow\ m\ge 160$

6. 6

   在邊界與兩側各驗一次。 取 $m=160$：$x=\tfrac{2720}{9}$、$y=\tfrac{1120}{9}$、$x+y=\tfrac{1280}{3}$，而 $\tfrac{8m}{3}=\tfrac{1280}{3}$——兩者相等，所以 $160$ 要包含在內 ✓。取 $m=900$：$x+y=180\le 2400$ ✓。取 $m=0$：$x+y=480$，但 $\tfrac{8m}{3}=0$，不等式不成立 ✓，可見 $m$ 太小時確實被排除。