求函數 f(x) = 2 / (x² − 12x + 35) 的定義域，用區間形式作答。

Step-by-step solution

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   先弄清分式函數唯一的限制是什麼。 分子 $2$ 無害，多項式對每個實數都有定義，所以定義域就是除去分母零點之外的一切。這裡既沒有根號也沒有對數，唯一的隱患就是除以零。數字很好處理，所以走因式分解的路，不必搬出公式解。

2. 2

   把分母因式分解。 找兩個數，乘積是 $35$、和是 $-12$；兩個都得是負的，$-5$ 與 $-7$ 正合適：

   $x^{2}-12x+35=(x-5)(x-7)$

   乘回去得 $x^{2}-7x-5x+35=x^{2}-12x+35$，可見分解沒錯。

3. 3

   解出要排除的值。 乘積為零，當且僅當某個因式為零：

   $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5,\qquad x-7=0\ \Rightarrow\ x=7$

   在這兩處分母為零而分子仍然是 $2$，所以 $f$ 在那裡是鉛直漸近線，而不是可以補上的空心點。

4. 4

   把這兩個點從數線上挖掉。 從 $\mathbb{R}$ 裡去掉兩個孤立點，它就被切成三段區間：

   $(-\infty,5)\cup(5,7)\cup(7,\infty)$

   四個端點一律用小括號 —— $5$ 和 $7$ 是因為被排除，$\pm\infty$ 是因為它們根本不是數。

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   在排除點兩側各抽查一次。 當 $x=6$ 時分母是 $36-72+35=-1$，於是 $f(6)=-2$，是中間那段區間裡一個合法的值。當 $x=5$ 時分母是 $25-60+35=0$，$f(5)$ 沒有定義，與答案完全吻合。