解不等式 3/(x − 2) > 1，並用區間表示解。

Step-by-step solution

1. 1

   不要在兩邊同乘 $x-2$。 它的正負號是未知的：$x>2$ 時為正（不等號方向不變），$x<2$ 時為負（方向必須翻轉）。不分情況就直接乘，是這道題最常見的錯法——它會悄悄給出 $3>x-2$，即 $x<5$，把 $2$ 以下的所有數都錯誤地包進來。

2. 2

   換個做法：把所有東西移到同一邊。 兩邊減 1，再以公分母 $x-2$ 合併：

   $\frac{3}{x-2}-1>0\ \Longrightarrow\ \frac{3-(x-2)}{x-2}>0\ \Longrightarrow\ \frac{5-x}{x-2}>0$

   現在問題純粹只是判斷一個商的正負號，而且全程沒做過正負號未知的乘法。

3. 3

   列出臨界點，並把零點和沒有定義的點分清楚。 分子在 $5-x=0\Rightarrow x=5$ 處為零；分母在 $x=2$ 處為零，式子在那裡沒有定義。兩者都會把數線切開，但只有一個有可能進入解裡。

4. 4

   在三個區間裡各取一個值試算。

   $x=0:\ \frac{5}{-2}<0\ \times\qquad x=3:\ \frac{2}{1}>0\ \checkmark\qquad x=6:\ \frac{-1}{4}<0\ \times$

   只有中間那個區間成立。

5. 5

   把解拼起來，端點要取對。 $x=2$ 必須排除，因為式子在那裡沒有定義；$x=5$ 也要排除，因為那裡商等於 $0$，而不等號是嚴格的：

   $2<x<5,\qquad (2,5)$

6. 6

   在兩端核實一下。 取 $x=2.5$：$\dfrac{3}{0.5}=6>1$ ✓。取 $x=5$：$\dfrac{3}{3}=1$，並不大於 $1$，所以把 $5$ 排除是對的 ✓。取 $x=1$：$\dfrac{3}{-1}=-3>1$ 不成立——而這恰好就是粗心交叉相乘會錯誤納入的那一片區域。