解 (5x − 4)² − 49x² = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把第二項改寫成平方。 因為 $49x^2 = (7x)^2$，左式就是兩個平方的差：

   $(5x-4)^2 - (7x)^2 = 0$

   看出這一點，就不必展開成 $25x^2 - 40x + 16 - 49x^2 = -24x^2 - 40x + 16$ 再整體約分——因式分解更短，也更不容易出錯。

2. 2

   套用平方差公式 A² − B² = (A − B)(A + B)。 取 $A = 5x - 4$、$B = 7x$：

   $\bigl((5x-4) - 7x\bigr)\bigl((5x-4) + 7x\bigr) = 0$

3. 3

   把兩個括號各自化簡。

   $(5x - 4) - 7x = -2x - 4, \qquad (5x - 4) + 7x = 12x - 4$

   所以方程式成為

   $(-2x - 4)(12x - 4) = 0$

4. 4

   對每個因式使用乘積為零的性質。

   $-2x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = -2$

   $12x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

5. 5

   把兩根代回原式檢查。 取 $x = -2$：$(-10-4)^2 - 49(4) = 196 - 196 = 0 \ \checkmark$。取 $x = \tfrac13$：$\left(\tfrac53 - 4\right)^2 - 49\cdot\tfrac19 = \tfrac{49}{9} - \tfrac{49}{9} = 0 \ \checkmark$。兩者都完全成立，而二次方程式最多只有兩根，所以解集已經完整。