一列火車原訂用 10 小時走完兩座城市之間的路程。以原訂速度行駛前 9 小時後，速度降低了 7 km/h，結果晚 6 分鐘到站。求火車原來的速度。

Step-by-step solution

1. 1

   把速度設為未知數，再用它把路程表示出來。 設 $v$ 為原速度，單位 km/h。既然原訂是以速度 $v$ 走 $10$ 小時，全程就是

   $S=10v$

   選 $v$ 而不是 $S$ 當未知數，是讓整套代數保持一次的關鍵——路程會自己消掉。

2. 2

   把行程拆成兩段。 前 $9$ 小時火車走了 $9v$ 公里，所以剩下的路程是

   $10v-9v=v\ \text{km}$

   這就是這樣設未知數帶來的漂亮結果：剩下那一段的公里數在數值上恰好等於速度。

3. 3

   把誤點寫成方程式。 剩下這一段以 $v-7$ km/h 行駛，用時 $\dfrac{v}{v-7}$ 小時。六分鐘是 $\tfrac{6}{60}=\tfrac{1}{10}$ 小時，所以實際全程用了 $10+\tfrac1{10}=\tfrac{101}{10}$ 小時：

   $9+\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}$

4. 4

   解這個分式方程式。 兩邊減去 $9$：

   $\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}-\frac{90}{10}=\frac{11}{10}$

   交叉相乘得 $10v=11(v-7)=11v-77$，所以 $v=77$ km/h。$v=7$ 這個增根要排除，因為它會讓降速後的速度變成零。

5. 5

   回到題目情境驗算。 路程 $=10\cdot77=770$ 公里。前 $9$ 小時走了 $693$ 公里，還剩 $77$ 公里，以 $77-7=70$ km/h 行駛需要 $77/70=1.1$ 小時 $=1$ 小時 $6$ 分。合計 $9+1.1=10.1$ 小時，也就是比原訂的 $10$ 小時正好晚了 $6$ 分鐘 ✓。