證明 kt + xy > ky + tx 等價於 (k − x)(t − y) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有項移到同一邊。 兩邊同減 $ky$ 與 $tx$，讓比較的對象變成零：

   $kt-tx+xy-ky>0$

2. 2

   把含公因式的項兩兩分組。 前兩項都含 $t$，後兩項都含 $y$：

   $t(k-x)+y(x-k)>0$

3. 3

   把兩個括號變成一模一樣的。 第二個括號是第一個的相反數，因為 $x-k=-(k-x)$：

   $t(k-x)-y(k-x)>0$

   看出這一次變號就是全部的技巧；看不出來的話，這個分組就像走進了死路。

4. 4

   提出共同的二項式。

   $(k-x)(t-y)>0$

5. 5

   寫出條件並檢驗。 兩個實數之積為正，恰好等價於它們同為正或同為負：

   $\left(k>x\ \text{且}\ t>y\right)\quad\text{或}\quad\left(k<x\ \text{且}\ t<y\right)$

   取 $k=4,t=3,x=1,y=2$（兩個差都為正）：左邊 $=12+2=14$，右邊 $=8+3=11$，而 $14>11$ $\checkmark$，同時 $(3)(1)=3>0$ $\checkmark$。再取 $k=1,t=3,x=4,y=2$（兩個差異號）：左邊 $=3+8=11$，右邊 $=2+12=14$，不等式不成立 $\checkmark$，與 $(-3)(1)=-3<0$ 相符。