證明 x = 2 是 (x² − 4x + 5)(2x² − 8x + 9) = 1 的根，且沒有其他的根。

Step-by-step solution

1. 1

   直接檢查 x = 2。

   $4-8+5=1,\qquad 8-16+9=1$

   所以乘積是 $1\cdot 1=1$ ✓。

2. 2

   對第一個因式配方。 兩個因式的頂點都在同一個位置 $x=2$，這正是整個論證能成立的原因：

   $x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1$

3. 3

   對第二個因式配方。

   $2x^{2}-8x+9=2\left(x^{2}-4x\right)+9=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+9=2(x-2)^{2}+1$

4. 4

   把兩個因式都由下界住在 1。 因為對所有實數 $x$ 都有 $(x-2)^{2}\ge 0$，

   $x^{2}-4x+5\ge 1,\qquad 2x^{2}-8x+9\ge 1$

   兩式的等號都只在 $x=2$ 時成立。

5. 5

   用乘積論證收尾。 兩個各自 $\ge 1$ 的實數相乘，結果 $\ge 1$，而等於 $1$ 只可能是兩者都等於 $1$。因此方程式迫使 $(x-2)^{2}=0$：

   $\boxed{x=2\text{ 是唯一的實根}}$

6. 6

   用代換驗證。 令 $u=(x-2)^{2}\ge 0$。方程式變成 $(u+1)(2u+1)=1$，即 $2u^{2}+3u=0$，即 $u(2u+3)=0$。只有 $u=0$ 合用，於是 $x=2$ ✓。數值上，在 $x=3$ 左式是 $(2)(3)=6>1$，在 $x=1$ 也是 $(2)(3)=6>1$，印證最小值落在 $x=2$。