解 2x² − x − 15 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   擺出 ac 法。 由 $a=2$、$b=-1$、$c=-15$，找兩個數，乘積是 $ac=2(-15)=-30$、和是 $b=-1$。因為 $a\neq 1$，光分解 $c$ 是行不通的。

2. 2

   找出那一組數。 $-30$ 的因數對包括 $(1,-30),(2,-15),(3,-10),(5,-6),(6,-5),(10,-3)$。和為 $-1$ 的那一組是 $5$ 與 $-6$。

3. 3

   拆開中間項再分組。

   $2x^{2}+5x-6x-15=0$

   $x(2x+5)-3(2x+5)=0$

   $(2x+5)(x-3)=0$

   重複出現的括號 $(2x+5)$ 確認了這樣拆是正確的。

4. 4

   套用乘積為零的性質。

   $2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $\boxed{x=3\ \text{或}\ x=-\tfrac52}$

5. 5

   兩個根都驗算。 在 $x=3$：$2(9)-3-15=18-18=0$ ✓。在 $x=-\tfrac52$：$2\left(\tfrac{25}{4}\right)+\tfrac52-15=\tfrac{25}{2}+\tfrac52-15=15-15=0$ ✓。

6. 6

   再用根與係數關係和判別式確認。 兩根的和應該是 $-b/a=\tfrac12$，乘積應該是 $c/a=-\tfrac{15}{2}$：$3-\tfrac52=\tfrac12$ ✓、$3\left(-\tfrac52\right)=-\tfrac{15}{2}$ ✓。判別式 $1+120=121=11^{2}$ 是完全平方數，這正是這個二次式能在有理數範圍內分解的原因。