解 74x − 2x² = 690。

Step-by-step solution

1. 1

   先整理成標準式。 把所有項移到同一邊，二次方程式的那一套工具才用得上：

   $-2x^2+74x-690=0$

2. 2

   把係數正規化。 兩邊同乘 $-1$ 讓最高次係數為正，再同除以 $2$：

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   這兩個動作對方程式都是合法的，也把數字縮到不能再小。

3. 3

   試著找整數因式，結果找不到。 因式分解需要兩個數，乘積是 $345$、和是 $37$。因為 $345=3\times5\times23$，因數對只有 $(1,345),(3,115),(5,69),(15,23)$，和分別是 $346,118,74,38$——沒有一個是 $37$。（注意 $15+23=38$ 有多接近：這題只是差一點點就有解。）

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   算判別式。

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   是負的，所以沒有實數解。拋物線 $x^2-37x+345$ 整條都落在橫軸上方。

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   解釋這個「差一點」。 左式 $74x-2x^2$ 是開口向下的拋物線，頂點在 $x=\tfrac{74}{4}=18.5$，該處的值是 $74(18.5)-2(18.5)^2=1369-684.5=684.5$。既然最大可能值是 $684.5$，而目標是 $690$，這個方程式要的東西超出可及範圍 $5.5$。這個差額正是判別式 $-11$ 所記錄的（兩者相差一個因數 $2$，來自前面那次除法）。

6. 6

   給出複數根並驗算。 在 $\mathbb{C}$ 上：

   $x=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   把任一個代入 $74x-2x^2$ 都會回到 $690$，誤差在 $10^{-9}$ 以內 ✓；另外把 $x$ 從 $-1000$ 到 $1000$ 掃過 $200{,}001$ 個實數值，也找不到任何實數解 ✓。