解不等式 |x − 2| + |x − 5| > 7。

Step-by-step solution

1. 1

   找出轉折點並分段。 每個絕對值都在裡面等於零的地方換公式：分別在 $x=2$ 與 $x=5$。所以要分別考慮 $x<2$、$2\le x<5$、$x\ge5$；在每一段上兩個絕對值都變成一次式。

2. 2

   情形 1：x < 2（兩個絕對值裡面都是負的）。 此時 $|x-2|=2-x$、$|x-5|=5-x$，兩者的和是 $7-2x$：

   $7-2x>7\qquad\Longrightarrow\qquad -2x>0\qquad\Longrightarrow\qquad x<0$

   除以 $-2$ 會讓不等號反向。把 $x<0$ 與 $x<2$ 取交集，剩下 $x<0$。

3. 3

   情形 2：2 ≤ x < 5（正負號混合）。 此時 $|x-2|=x-2$、$|x-5|=5-x$，含 $x$ 的項互相抵消：

   $(x-2)+(5-x)=3>7$

   對區間裡的每個 $x$ 都不成立，所以中間這一段沒有任何貢獻。兩個轉折點之間，這個和是常數 $3$——正是 $2$ 到 $5$ 的距離。

4. 4

   情形 3：x ≥ 5（兩個絕對值裡面都非負）。 此時和是 $(x-2)+(x-5)=2x-7$：

   $2x-7>7\qquad\Longrightarrow\qquad 2x>14\qquad\Longrightarrow\qquad x>7$

   與 $x\ge5$ 取交集，剩下 $x>7$。

5. 5

   把各情形取聯集。

   $x<0\quad\text{或}\quad x>7,\qquad(-\infty,0)\cup(7,\infty)$

6. 6

   用距離的觀點確認。 $|x-2|+|x-5|$ 是 $x$ 到 $2$ 與到 $5$ 的距離總和。最小值是間距 $3$，在整個 $[2,5]$ 上都達成；在外側，每往外一單位就增加 $2$。要達到 $7$ 還需要多出 $7-3=4$，也就是要離轉折點 $2$ 個單位——邊界因此落在 $2-2=0$ 與 $5+2=7$ ✓。檢查：$x=0$ 時 $|{-2}|+|{-5}|=7$，$x=7$ 時 $|5|+|2|=7$，兩者都被嚴格不等式排除。在 $[-20,20]$ 上掃描 $4001$ 個精確有理點，每一點都相符 ✓。