計算並化簡：(x² − 14x + 48)/(x² − 3x − 18) 乘以 (x² − 9)/(x² − 64)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把每個式子分解，什麼都還沒乘。 如果先把分子分母乘開，就會得到四次式，把所有可約的部分全藏起來。四個二次式全都能在整數範圍內分解，所以分解既可行，也正是本題的重點。

2. 2

   把四個二次式分解。

   $x^2-14x+48 = (x-6)(x-8), \qquad x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$

   $x^2-9 = (x-3)(x+3), \qquad x^2-64 = (x-8)(x+8)$

   後兩個是平方差；前兩個要找乘積為 $48$、$-18$ 而和為 $-14$、$-3$ 的兩個數。

3. 3

   把乘積寫成單一個分式。

   $\frac{(x-6)(x-8)\,(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+3)\,(x-8)(x+8)}$

4. 4

   約掉成對的因式，而不是成對的項。 上下同時出現的完整因式有三個：$(x-6)$、$(x-8)$ 與 $(x+3)$。約掉它們之後剩下

   $\frac{x-3}{x+8}$

   不可以做的是在 $\dfrac{x-3}{x+8}$ 裡去約單獨的 $x$ 或 $3$——約分只能消去乘積中相同的因式，絕不能消去和式的一部分。

5. 5

   記下被排除的值。 約分會把原式本來就有的限制藏起來：定義域必須排除 $x = 6$、$x = -3$、$x = 8$ 與 $x = -8$。化簡後的式子只在原式有定義的地方才與原式相等。

6. 6

   代一個值檢驗。 取 $x = 1$。原式：$\dfrac{1-14+48}{1-3-18} \cdot \dfrac{1-9}{1-64} = \dfrac{35}{-20} \cdot \dfrac{-8}{-63} = -\dfrac{2}{9}$。化簡式：$\dfrac{1-3}{1+8} = -\dfrac{2}{9}$ ✓。