解不等式 x² − 4x − 5 > 0，並用區間表示法寫出解集合。

Step-by-step solution

1. 1

   把零移到一邊後因式分解。 不等式右邊已經是 $0$，所以直接分解這個二次式。需要兩個數，乘積是 $-5$、和是 $-4$：就是 $-5$ 與 $+1$，所以

   $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$

   不等式變成 $(x-5)(x+1)>0$。

2. 2

   找出分界點——也就是因式的零點。 令每個因式為零：

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   這是式子唯一可能變號的位置，因為乘積只會在某個因式變號的地方變號。

3. 3

   把數線切成由此得到的三個區間。

   $(-\infty,-1),\qquad (-1,5),\qquad (5,\infty)$

   在每一段的內部 $(x-5)(x+1)$ 的符號固定不變，所以每段取一個測試值就夠了。

4. 4

   每個區間各取一點測試。

   $x=-2:\ (-7)(-1)=7>0\quad\checkmark$

   $x=0:\ (-5)(1)=-5<0\quad\times$

   $x=6:\ (1)(7)=7>0\quad\checkmark$

   正–負–正這個規律，正是一條開口向上、有兩個相異實根的拋物線該有的樣子。

5. 5

   寫出解集合，並排除兩根。 不等式是嚴格的（$>0$ 而不是 $\ge 0$），所以式子等於零的 $x=-1$ 與 $x=5$ 不包含在內：

   $x<-1\ \text{ 或 }\ x>5,\qquad (-\infty,-1)\cup(5,\infty)$

   注意這是聯集：解是兩條分開的射線，不能寫成 $-1>x>5$ 這種連鎖不等式。